Teoria de la probabilidad total

Ley de probabilidad total caso continuo

En teoría de la probabilidad, la ley de la probabilidad total es una forma útil de hallar la probabilidad de algún suceso A cuando no conocemos directamente la probabilidad de A pero sí sabemos que los sucesos B1, B2, B3… forman una partición del espacio muestral S.

La empresa A suministra el 80% de los widgets a un taller de coches y sólo el 1% de sus widgets resultan defectuosos. La empresa B suministra el 20% restante de widgets al taller de coches y el 3% de sus widgets resultan defectuosos.

Si dejamos que P(D) = la probabilidad de que un widget sea defectuoso y P(Bi) sea la probabilidad de que el widget proceda de una de las empresas, podemos calcular la probabilidad de comprar un widget defectuoso como:

El bosque A ocupa el 50% del terreno total de un determinado parque y el 20% de las plantas de este bosque son venenosas. El bosque B ocupa el 30% del terreno total y el 40% de sus plantas son venenosas. El bosque C ocupa el 20% restante del terreno y el 70% de sus plantas son venenosas.

Si dejamos que P(P) = la probabilidad de que la planta sea venenosa, y P(Bi) es la probabilidad de que hayamos entrado en uno de los tres bosques, entonces podemos calcular la probabilidad de que una planta elegida al azar sea venenosa como:

Ley de la expectativa total

El teorema de la probabilidad total es la base del Teorema de Baye, y ayuda a deducir la probabilidad inversa de que ocurra un suceso a partir de particiones de un espacio muestral S. El suceso de un suceso a partir de la partición del espacio definido puede calcularse utilizando el teorema de la probabilidad total, y la probabilidad inversa a partir de la partición particular del espacio muestral, para la probabilidad dada del suceso puede calcularse con la ayuda del Teorema de Baye, y esto se completa derivando utilizando el teorema de la probabilidad total.

El teorema de la probabilidad total se aplica de forma destacada para derivar el teorema de Baye, que es la probabilidad inversa de que ocurra de encontrar la partición del espacio muestral a partir de la cual ha ocurrido el suceso.

Ley de la varianza total

Los acontecimientos no suceden en el vacío. Están relacionados con las circunstancias de su entorno y dependen de ellas. La regla de Bayes nos permite relacionar la probabilidad a priori de que se produzca un suceso, derivada de circunstancias como el riesgo de contraer una enfermedad por la edad, con la probabilidad de que se produzca el suceso real.

Formalmente, el teorema de Bayes dice que la probabilidad de que ocurra un suceso A dado B es la probabilidad de que ocurra B dado A multiplicada por la probabilidad marginal de A dividida por la probabilidad marginal de B.

Por ejemplo, si una persona da positivo en una prueba de cáncer de pulmón, existe la posibilidad de que el resultado sea un falso positivo y la persona en realidad no tenga cáncer de pulmón. Digamos que la prueba es precisa en el 99% de las ocasiones para determinar el cáncer de pulmón. En estadística, esta tasa de verdaderos positivos se denomina sensibilidad de la prueba.

Supongamos que la probabilidad de desarrollar cáncer de pulmón en un año determinado (la probabilidad previa) es del 0,07%. Vamos a ignorar factores como la edad o el tabaquismo que afectan al riesgo. Supongamos también que la probabilidad de dar positivo aunque la persona no tenga cáncer es del 3%. Esto se denomina tasa de falsos positivos.

Medida de probabilidad condicional

La probabilidad es un concepto fundamental en econometría y economía. Se utiliza para cuantificar la probabilidad de que ocurra un suceso y nos permite hacer predicciones y tomar decisiones basadas en resultados futuros inciertos. En este capítulo estudiaremos los fundamentos de la teoría de la probabilidad y su aplicación en el campo de la economía.

Definición 4.1 Sea (Omega) el conjunto de resultados potenciales de un experimento aleatorio. En otras palabras, el espacio de sucesos elementales. También, que (omega_i) denota un punto específico en (Omega). En otras palabras, un suceso elemental (o suceso atómico) en el espacio de sucesos posibles.

Definición 4.2 (Definición axiomática (de Kolmogorov)) Dado un espacio medible ((Omega, Upsilon)), una función de probabilidad, o medida de probabilidad, (P) con dominio (Upsilon) es cualquier función que satisfaga las siguientes condiciones.

El Teorema de la Probabilidad Total es un teorema fundamental de la teoría de la probabilidad que nos permite calcular la probabilidad de un suceso considerando todas las formas posibles en que puede ocurrir. Afirma que, dado un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes (sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra cualquiera de estos sucesos es igual a la suma de las probabilidades de que ocurra cada suceso individual, multiplicada por la probabilidad de que ocurra el suceso dado que ha ocurrido el suceso individual. Este teorema es útil en diversas situaciones, como cuando queremos hallar la probabilidad de que ocurra un suceso en una secuencia de sucesos o cuando queremos calcular la probabilidad de que ocurra un suceso dada alguna información parcial sobre el suceso.