Teoría de conjuntos
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La combinatoria es un área de las matemáticas que se ocupa principalmente del recuento, como medio y como fin para obtener resultados, y de ciertas propiedades de las estructuras finitas. Está estrechamente relacionada con muchas otras áreas de las matemáticas y tiene muchas aplicaciones que van de la lógica a la física estadística y de la biología evolutiva a la informática.
La combinatoria es conocida por la amplitud de los problemas que aborda. Los problemas combinatorios surgen en muchas áreas de las matemáticas puras, especialmente en álgebra, teoría de la probabilidad, topología y geometría,[1] así como en sus muchas áreas de aplicación. Muchas cuestiones combinatorias se han considerado históricamente de forma aislada, dando una solución ad hoc a un problema surgido en algún contexto matemático. Sin embargo, a finales del siglo XX se desarrollaron métodos teóricos potentes y generales que convirtieron la combinatoria en una rama independiente de las matemáticas por derecho propio[2] Una de las partes más antiguas y accesibles de la combinatoria es la teoría de grafos, que por sí misma tiene numerosas conexiones naturales con otras áreas. La combinatoria se utiliza con frecuencia en informática para obtener fórmulas y estimaciones en el análisis de algoritmos.
¿Qué es la teoría combinatoria?
La combinatoria infinita, o teoría combinatoria de conjuntos, es una extensión de las ideas de la combinatoria a los conjuntos infinitos. Forma parte de la teoría de conjuntos, un área de la lógica matemática, pero utiliza herramientas e ideas tanto de la teoría de conjuntos como de la combinatoria extrema.
¿Qué es el concepto de combinaciones?
¿Qué es una combinación? Una combinación es una técnica matemática que determina el número de disposiciones posibles en una colección de elementos en la que no importa el orden de la selección.
¿Cuál es la norma para las combinaciones?
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez se determina mediante la siguiente fórmula: ¡C(n,r)=n! ¡(n-r)!
Identidades combinatorias
ResumenLos argumentos probabilísticos pueden reducirse a menudo a técnicas en las que se enumeran todas las posibilidades. Estas técnicas se basan en la Ley de la Probabilidad Total y son más útiles cuando existe un conjunto de sucesos básicos igualmente probables y cuando los sucesos de interés consisten en combinaciones de estos sucesos básicos. En este capítulo nos centramos en dichas técnicas enumerativas y derivamos técnicas formales de recuento denominadas colectivamente combinatoria. En la sección 3.2 definimos cuatro paradigmas de recuento diferentes, que se expresan en términos de selección de bolas distinguibles de una urna o, de forma equivalente, en términos de asignación de bolas indistinguibles a diferentes urnas. Para derivar expresiones para el número de posibilidades diferentes para cada paradigma de recuento, establecemos relaciones de recurrencia entre el número de posibilidades del problema inicial y el de un problema similar, pero más pequeño. Este tipo de argumento corresponde a la partición del espacio de recuento en conjuntos disjuntos, que son más pequeños y más fáciles de contar.Palabras claveEstas palabras clave fueron añadidas por máquina y no por los autores. Este proceso es experimental y las palabras clave pueden actualizarse a medida que mejore el algoritmo de aprendizaje.
Diseño combinatorio
Antes de hablar de permutaciones vamos a echar un vistazo a lo que significan las palabras combinación y permutación. Una ensalada Waldorf es una mezcla de, entre otras cosas, apionabo, nueces y lechuga. No importa en qué orden añadamos los ingredientes, pero si tenemos una combinación para nuestro candado que es 4-5-6, entonces el orden es extremadamente importante.
En nuestro ejemplo el orden de los dígitos era importante, si el orden no importara tendríamos lo que es la definición de una combinación. El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez viene determinado por la siguiente fórmula:
Fórmulas combinatorias
Rama de las matemáticas dedicada a la solución de problemas de elección y ordenación de los elementos de ciertos conjuntos (generalmente finitos) de acuerdo con reglas prescritas. Cada una de estas reglas define un método de construcción de una configuración de elementos del conjunto dado, denominada configuración combinatoria. Se puede decir, por tanto, que el objetivo del análisis combinatorio es el estudio de las configuraciones combinatorias. Este estudio incluye cuestiones de existencia de configuraciones combinatorias, algoritmos y su construcción, optimización de dichos algoritmos, así como la solución de problemas de enumeración, en particular la determinación del número de configuraciones de una clase dada. Los ejemplos más sencillos de configuraciones combinatorias son las permutaciones, las combinaciones y los arreglos.
El auge de las nociones y desarrollos fundamentales del análisis combinatorio fue paralelo al desarrollo de otras ramas de las matemáticas como el álgebra, la teoría de números, la teoría de probabilidades, todas ellas estrechamente vinculadas al análisis combinatorio. La fórmula que expresa el número de combinaciones en términos de los coeficientes binomiales y la fórmula binomial de Newton para números enteros positivos $ n $