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Composicion de funciones teoria

Función de identidad

Me sentí abrumado por la respuesta positiva a mi anterior post, el Prefacio a la Teoría de Categorías para Programadores. Al mismo tiempo, me asustó muchísimo porque me di cuenta de las grandes expectativas que la gente tenía puestas en mí. Me temo que, escriba lo que escriba, muchos lectores se sentirán decepcionados. A algunos lectores les gustaría que el libro fuera más práctico, a otros más abstracto. Algunos odian C++ y querrían todos los ejemplos en Haskell, otros odian Haskell y exigen ejemplos en Java. Y sé que el ritmo de exposición será demasiado lento para algunos y demasiado rápido para otros. Este no será el libro perfecto. Será un compromiso. Lo único que espero es poder compartir con mis lectores algunos de mis momentos de reflexión. Empecemos por lo básico.

Una categoría es un concepto vergonzosamente sencillo. Una categoría consiste en objetos y flechas que van entre ellos. Por eso las categorías son tan fáciles de representar pictóricamente. Un objeto puede dibujarse como un círculo o un punto, y una flecha… es una flecha. (Sólo por variar, a veces dibujo objetos como cerditos y flechas como fuegos artificiales). Pero la esencia de una categoría es la composición. O, si lo prefieres, la esencia de la composición es una categoría. Las flechas se componen, así que si tienes una flecha que va del objeto A al objeto B, y otra flecha que va del objeto B al objeto C, entonces debe haber una flecha -su composición- que vaya de A a C.

¿Qué es la teoría de la composición de funciones?

En matemáticas, la composición de una función es una operación en la que dos funciones, por ejemplo f y g, generan una nueva función, por ejemplo h, de forma que h(x) = g(f(x)). Significa que aquí la función g se aplica a la función de x. Así que, básicamente, una función se aplica al resultado de otra función.

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¿Cuál es un ejemplo de composición de funciones?

Ejemplo 2

Por ejemplo, supongamos que f(y)=11+y2 y que g(x)=x2-x. Entonces, para formar la composición h(x)=f(g(x)), vemos que sustituimos la y por x2-x y obtenemos la misma respuesta h(x)=f(g(x))=11+(x2-x)2.

Calculadora de funciones compuestas

El estudio de los operadores de composición vincula algunas de las cuestiones más básicas que pueden plantearse sobre los operadores lineales con bellos resultados clásicos de la teoría de funciones analíticas. El proceso dota de nuevos significados a viejos teoremas y confiere al análisis funcional una intrigante clase de operadores lineales concretos. Lo mejor de todo es que el tema puede ser apreciado por cualquiera que tenga un interés en la teoría de funciones o en el análisis funcional, y una base aproximadamente equivalente a los siguientes doce capítulos del libro de texto de Rudin Real and Complex Analysis [Rdn ’87]: Capítulos 1-7 (medida e integración, espacios LP, teoría básica de los espacios de Hilbert y Banach), y 10-14 (teoría básica de funciones a través del Teorema del Mapa de Riemann). En este libro introduzco al lector tanto en la teoría de los operadores de composición como en los resultados clásicos que forman su infraestructura. Desarrollo el tema de una forma que enfatiza su contenido geométrico, manteniéndome en la medida de lo posible dentro de los prerrequisitos establecidos en los doce capítulos fundamentales del libro de Rudin. Aunque gran parte del material sobre operadores es bastante reciente, este libro no pretende ser un estudio exhaustivo. Es, sencillamente, una invitación a unirse a la diversión. La historia es más o menos así.

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Función extraña

Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día concreto del año. El coste de calentar una casa dependerá de la temperatura media diaria y, a su vez, la temperatura media diaria depende del día concreto del año. Observa que acabamos de definir dos relaciones: El coste depende de la temperatura y la temperatura depende del día.

Utilizando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función (C(T)) da el coste (C) de calentar una casa para una temperatura media diaria dada en (T) grados centígrados. La función (T(d)) da la temperatura media diaria del día d del año. Para un día cualquiera, (Coste=C(T(d))) significa que el coste depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de coste a la temperatura (T(d)). Por ejemplo, podríamos evaluar (T(5)) para determinar la temperatura media diaria del 5º día del año. A continuación, podríamos evaluar la función de coste a esa temperatura. Escribiríamos (C(T(5))).

Composición de funciones python

En matemáticas, la composición de funciones es una operación ∘ que toma dos funciones f y g, y produce una función h = g ∘ f tal que h(x) = g(f(x)). En esta operación, la función g se aplica al resultado de aplicar la función f a x. Es decir, las funciones f : X → Y y g : Y → Z se componen para producir una función que mapea x en el dominio X a g(f(x)) en el codominio Z.

Intuitivamente, si z es una función de y, e y es una función de x, entonces z es una función de x. La función compuesta resultante se denota g ∘ f : X → Z, definida por (g ∘ f )(x) = g(f(x)) para todo x en X.[nb 1]

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La notación g ∘ f se lee como “g de f “, “g después de f “, “g círculo f “, “g alrededor de f “, “g sobre f “, “g compuesto con f “, “g siguiendo a f “, “f entonces g”, o “g sobre f “, o “la composición de g y f “. Intuitivamente, la composición de funciones es un proceso de encadenamiento en el que la salida de la función f alimenta la entrada de la función g.

La composición de funciones es siempre asociativa, una propiedad heredada de la composición de relaciones[1]. Es decir, si f, g y h son componibles, entonces f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h[3]. Como los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.

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